Question

13．如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4，如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连续AB，
（1）求证：DE⊥平面BCD
（2）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

分析 解：（1）在图1中可求CD=2$\sqrt{3}$，由CE=4，∠DCE=30°，可得DE=2，由勾股定理可证DE⊥DC，在图2中，又平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，DE?平面ACD，即可证明DE⊥平面BCD．
（2）在图2中，作BH⊥CD于H，可证BH⊥平面ACD，在图1中，可求BH=$\frac{3}{2}$，由V_A-BDE=V_B-ADE=${\frac{1}{3}S}_{△ADE}•BH$，即可得解．

解答 解：（1）在图1中，∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°．
因为CD为∠ACB的平分线，所以∠BCD=∠ACD=30°，∴CD=2$\sqrt{3}$．…（2分）
∵CE=4，∠DCE=30°，∴DE=2
则CD²+DE²=EC²，所以∠CDE=90°，DE⊥DC．…（4分）
在图2中，又因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，DE?平面ACD，
所以DE⊥平面BCD．…（6分）
（2）在图2中，作BH⊥CD于H，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，
BH?平面BCD，所以BH⊥平面ACD．…（8分）
在图1中，由条件得BH=$\frac{3}{2}$．  …（9分）
所以三棱锥A-BDE的体积
V_A-BDE=V_B-ADE=${\frac{1}{3}S}_{△ADE}•BH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2sin120°×\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的求法，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．