Question

5．设F₁、F₂为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的两个焦点，P点在椭圆上，若△PF₁F₂是直角三角形，则△PF₁F₂的面积为6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 若PF₁⊥x轴，或PF₂⊥x轴时，把x=±2$\sqrt{3}$代入椭圆方程，解得y即可得到三角形的高，即可得到△PF₁F₂的面积．若P为直角顶点，在Rt△POF₁中，可得∠F₁PF₂=60°，故不可能有PF₁⊥PF₂．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得：a²=16，b²=4，∴c²=a²-b²=12．
①若PF₁⊥x轴，或PF₂⊥x轴时，把x=±2$\sqrt{3}$代入椭圆方程得 $\frac{12}{16}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，解得y=±1，∴h=1，
∴△PF₁F₂的面积=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|×h=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×3=6$\sqrt{3}$．
②若P为椭圆短轴的一个顶点（0，2），
在Rt△POF₁中，tan∠OPF₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜1，∴∠OPF₁＜45°，∴∠F₁PF₂＜90°，
故不可能有PF₁⊥PF₂
故答案为：6$\sqrt{3}$．

点评 熟练掌握分类讨论思想方法、三角形面积的计算公式、点与椭圆的关系是解题的关键．