Question

14．函数f（x）=$\frac{cosx-2}{\sqrt{3-2cosx+sinx}}$的值域是$[-\sqrt{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{5}]$．

Answer 1

分析 首先利用换元法和三角函数关系式的恒等变换，进一步利用$\left|\frac{2m-1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}\right|≤1$确定m的范围，最后利用函数f（x）=-$\sqrt{\frac{2}{1+{m}^{2}}}$的单调性求出结果．

解答 解：f（x）=$\frac{cosx-2}{\sqrt{3-2cosx+sinx}}$
=-$\frac{2-cosx}{\sqrt{\frac{1}{2}（6-4cosx+2sinx）}}$
=-$\sqrt{\frac{（2-cosx）^{2}}{\frac{1}{2}（4-4cosx+{cos}^{2}x）+（1+2sinx+{sin}^{2}x）}}$
=-$\sqrt{\frac{2}{1+（\frac{1+sinx}{2-cosx}）^{2}}}$
设$\frac{1+sinx}{2-cosx}=m$，则：sinx+mcosx=2m-1，
所以：sin（x+φ）=$\frac{2m-1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$．
由于：$\left|\frac{2m-1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}\right|≤1$
解得：$0≤m≤\frac{3}{4}$，
由于f（x）=-$\sqrt{\frac{2}{1+{m}^{2}}}$在定义域内为单调递增函数．
所以函数的值域为：$[-\sqrt{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{5}]$．
故答案为：$[-\sqrt{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{5}]$

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变形，换元的应用，主要考察学生运算能力和恒等变换能力．