Question

4．Rt△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y²=2px（p＞0）上，且斜边AB∥y轴，CD是斜边上的高，D为垂足，则|CD|=2p．

Answer 1

分析 结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．

解答 解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，
可设C的坐标为（$\frac{{c}^{2}}{2p}$，c），B的坐标为（$\frac{{b}^{2}}{2p}$，b），则A的坐标为（$\frac{{b}^{2}}{2p}$，-b）；
$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{{c}^{2}}{2p}$-$\frac{{b}^{2}}{2p}$，c-b），$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{{b}^{2}}{2p}$-$\frac{{c}^{2}}{2p}$，-b-c）
又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，
即$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
变形可得|b²-c²|=4p²，
而斜边上的高即C到AB的距离为|$\frac{{b}^{2}}{2p}$-$\frac{{c}^{2}}{2p}$|=$\frac{4{P}^{2}}{2P}$=2p．
故答案为：2p．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．