Question

12．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=$\frac{π}{2}$，DC=2AB=2BC=2$\sqrt{2}$，以直线AD为旋转轴旋转一周得到如图所示的几何体σ．
（1）求几何体σ的表面积；
（2）点M时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD的体积为$\frac{1}{3}$，试判断M点的轨迹是否为2个菱形．

Answer 1

分析 （1）根据题意知该旋转体下半部分是一个圆锥，上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，求出它的表面积即可；
（2）求出S_△ABD，得出M点到平面ABCD的距离为1，由空间中到平面ABCD的距离为1的平面与几何体σ的表面的交线构成曲边四边形，得出结论．

解答 解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=$\frac{1}{2}$×4π×2$\sqrt{2}$×2=8$\sqrt{2}$π，
或S=$\frac{1}{2}$×4π×2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×（4π×2$\sqrt{2}$-2π×$\sqrt{2}$）+$\frac{1}{2}$×2π×$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$π；
（2）由已知S_△ABD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2×sin135°=1，
因而要使四面体MABD的体积为$\frac{1}{3}$，只要M点到平面ABCD的距离为1，
因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，
它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．

点评 本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．