Question

17．已知在数列{a_n}中，a₁=2，a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，求通项公式a_n．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，利用累积法进行求解即可．

解答 解：∵a₁=2，a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
则当n≥3时，
a_n=a₂•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{3}{1}×2$•$\frac{4}{2}$$•\frac{5}{3}•\frac{6}{4}…$$\frac{n-1}{n-3}$$•\frac{n}{n-2}•\frac{n+1}{n-1}$=n（n+1），
当n=2时，a₂=$\frac{3}{1}×2=6$，满足a_n=n（n+1），
a₁=2，满足a_n=n（n+1），
综上数列的通项公式为a_n=n（n+1）．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，利用累积法是解决本题的关键．