Question

7．已知点F是双曲线$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$-$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，以坐标原点O为圆心，OF为半径的圆与该双曲线左支交于点A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，1+$\sqrt{3}$）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （1，1+$\sqrt{2}$）
• D． （2，1+$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，设AB与x轴交于C，则由此可得∠AEC＜45°，得|AC|＜|EC|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
设AB与x轴交于C，则由此可得∠AEC＜45°，得|AC|＜|EC|
以坐标原点O为圆心，OF为半径的圆的方程为x²+y²=c²，
与双曲线方程联立可得A（-$\frac{a\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}{c}$，$\frac{{b}^{2}}{c}$）
∴|AC|=$\frac{{b}^{2}}{c}$，|EC|=a+$\frac{a\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}{c}$
∴$\frac{{b}^{2}}{c}$＜a+$\frac{a\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}{c}$，即得e²-2e-2＜0，
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，1+$\sqrt{3}$）．
故选：A．

点评 本题考查求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．