Question

8．如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别在BB₁和DD₁上，且BE=$\frac{1}{3}$BB₁，DF=$\frac{2}{3}$DD₁．
（1）证明：A、E、C₁、F四点共面．
（2）若$\overrightarrow{EF}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，求x+y+z．

Answer 1

分析 （1）由AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，BE∥D₁F，BE=D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，∠ABE=∠C₁D₁F，知△ABE≌△C₁D₁F，进而AE=C₁F，同理AF=C₁E，故AEC₁F为平行四边形，由此能够证明A、E、C₁、F四点共面．
（2）结合图形和向量的加法和减法运算进行求解．

解答 证明：∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BE=$\frac{1}{3}$BB₁，DF=$\frac{2}{3}$DD₁，
∴AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，BE∥D₁F，BE=D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，
∠ABE=∠C₁D₁F，
∴△ABE≌△C₁D₁F，…（3分）
∴AE=C₁F，
同理AF=C₁E，
故AEC₁F为平行四边形，
∴A、E、C₁、F四点共面．…（6分）
（2）解：如图所示：$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{{EB}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=$\overrightarrow{{EB}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{DD}_{1}}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
即x=-1，y=1，z=$\frac{1}{3}$，
∴x+y+z=$\frac{1}{3}$

点评 本题考查四点共面的证明，平面向量基本定理及其应用，解题时要认真审题，注意合理地化空间几何为平面几何进行求解，解题时要注意向量法的合理运用．