Question

19．若点P在y²=x上，点Q在（x-3）²+y²=1上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$-1
• C． 2
• D． $\frac{\sqrt{11}}{2}$-1

Answer 1

分析 设P（y²，y），圆心C（3，0），则|PQ|=|CP|-1=$\sqrt{（{y}^{2}-3）^{2}+{y}^{2}}$-1=$\sqrt{（{y}^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}$-1，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设P（y²，y），圆心C（3，0），则|PQ|=|CP|-1=$\sqrt{（{y}^{2}-3）^{2}+{y}^{2}}$-1=$\sqrt{（{y}^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}$-1≥$\frac{\sqrt{11}}{2}$-1，
当且仅当y²=$\frac{5}{2}$，即取点P$（\frac{5}{2}，±\frac{\sqrt{10}}{2}）$时，|PQ|取得最小值为$\frac{\sqrt{11}}{2}$-1，
故选：D．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、两点之间的距离个数、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．