Question

11．过抛物线y²=2Px（P＞0）焦点的弦AB斜率为2$\sqrt{2}$，且|AB|=9，则抛物线方程为y²=8x．

Answer 1

分析 设直线AB的方程为：y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$）．与抛物线的方程联立可得4x²-5px+p²=0，利用根与系数的关系可得x₁+x₂．再利用弦长公式|AB|=x₁+x₂+p，即可得到p．

解答 解：设直线AB的方程为：y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=2\sqrt{2}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，化为4x²-5px+p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5p}{4}$．
∵|AB|=9=x₁+x₂+p，
∴$\frac{5p}{4}$+p=9，解得p=4．
∴抛物线的方程为：y²=8x．
故答案为：y²=8x．

点评 本题考查了直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．