Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是一个首项为2，公差为1的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1），n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式，求出S_n=n²+n，利用再写一式，两式相减，可求数列{a_n}的通项公式．
（2）利用数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1），求出b_n=2n•4ⁿ，再利用错位相减法，求{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意，$\frac{{S}_{n}}{n}$=2+（n-1）=n+1，
∴S_n=n²+n，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，
n=1时，a₁=S₁=2也满足，
∴a_n=2n；
（2）∵数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1），
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）-$\frac{4}{3}$（4^n-1-1）=4ⁿ，
∵a_n=2n，
∴b_n=2n•4ⁿ，
∴T_n=2（1•4+2•4²+…+n•4ⁿ），
∴4T_n=2（1•4²+2•4³+…+n•4ⁿ⁺¹），
∴两式相减可得-3T_n=2（1•4+1•4²+•4³+…+1•4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹），
∴T_n=-$\frac{2}{3}$[$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）-n•4ⁿ⁺¹]．

点评 本题考查了数列的通项与求和，考查错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．