Question

13．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D₁E上的一点，D₁F=2FE．
（Ⅰ）证明：平面DFC⊥平面D₁EC；
（Ⅱ）求二面角A-DF-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，得$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=$（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，-\frac{4}{3}）$，$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），通过计算可得平面FDC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），平面D₁EC的一个法向量$\overrightarrow p=（1，1，1）$，由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{p}$=0即得结论；
（Ⅱ）设二面角A-DF-C的平面角为θ，结合（Ⅰ）可得平面ADF的一个法向量$\overrightarrow q=（0，1，-1）$，从而cosθ=-|$\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow q}{{|\overrightarrow n|•\overrightarrow{|q|}}}$|=-$\frac{0+0+1}{{\sqrt{2}×\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2）．
∵E为AB的中点，∴E点坐标为E（1，1，0），
∵D₁F=2FE，∴$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{{D}_{1}E}$=$\frac{2}{3}（1，1，-2）$=$（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，-\frac{4}{3}）$，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{D{D}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（0，0，2）+$（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，-\frac{4}{3}）$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
设$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$是平面DFC的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，
取x=1得平面FDC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设$\overrightarrow{p}$=（x，y，z）是平面ED₁C的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{D}_{1}F}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{D}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}z=0\\ 2y-2z=0\end{array}\right.$，
取y=1得平面D₁EC的一个法向量$\overrightarrow p=（1，1，1）$，
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{p}$=（1，0，-1）•（1，1，1）=0，
∴平面DFC⊥平面D₁EC；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{q}$=（x，y，z）是平面ADF的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{DA}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0\\ x=0\end{array}\right.$，
取y=1得平面ADF的一个法向量$\overrightarrow q=（0，1，-1）$，
设二面角A-DF-C的平面角为θ，由题中条件可知$θ∈（\frac{π}{2}，π）$，
则cosθ=-|$\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow q}{{|\overrightarrow n|•\overrightarrow{|q|}}}$|=-$\frac{0+0+1}{{\sqrt{2}×\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}$，
∴二面角A-DF-C的平面角的余弦值为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．