Question

5．双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线上一点A到双曲线的右焦点F的距离等于2，抛物线y²=2px（p＞0）过点A，则该抛物线的方程为（　　）

• A． y²=9x
• B． y²=4x
• C． y²=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$x
• D． y²=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$x

Answer 1

分析 求出双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，F点坐标为（$\sqrt{13}$，0），利用|AF|=2，求出A的坐标，代入y²=2px，求出p，即可求出抛物线的方程．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，F点坐标为（$\sqrt{13}$，0），
设A点横坐标为x，则y=±$\frac{2}{3}$x，
由|AF|=2得$\sqrt{（x-\sqrt{13}）^{2}+（±\frac{2}{3}x）^{2}}$=2
∴x=$\frac{9}{\sqrt{13}}$
∴y=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$，代入y²=2px得p=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，所以，y²=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$x，
故选：C．

点评 本题考查抛物线方程，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，求出A的坐标是关键．