Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4-{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜2）与x轴交于A、B两点，点C（0，b），则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 求出A，B的坐标，可得△ABC面积，利用基本不等式求出△ABC面积的最大值．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{4-{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜2）与x轴交于A、B两点，
∴A（-$\sqrt{4-{b}^{2}}$，0），B（$\sqrt{4-{b}^{2}}$，0），
∵点C（0，b），
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{4-{b}^{2}}$×b=$\sqrt{4-{b}^{2}}$×b=$\sqrt{（4-{b}^{2}）{b}^{2}}$≤$\frac{4-{b}^{2}+{b}^{2}}{2}$=2
当且仅当b=$\sqrt{2}$时取等号，
∴△ABC面积的最大值为2，
故选：B．

点评 不同课程双曲线方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，求出三角形的面积是关键．