Question

6．设数列{a_n}的首项a₁=2，前n项的和为S_n且a_n+1=S_n+2（n∈N^*）．
（1）证明{a_n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项b_n=log₂（a₁a₂…a_n），试判断$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{n}}$与2的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用递推式与等比数列的定义通项公式即可证明．
（2）b_n=$lo{g}_{2}（2•{2}^{2}•…•{2}^{n}）$=$lo{g}_{2}{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$，可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=S_n+2（n∈N^*），
∴当n=1时，a₂=a₁+2=4，当n≥2时，a_n=S_n-1+2，a_n+1-a_n=a_n，化为a_n+1=2a_n，当n=1时也满足，
∴{a_n}为等比数列，首项为2，公比为2．
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（2）b_n=log₂（a₁a₂…a_n）=$lo{g}_{2}（2•{2}^{2}•…•{2}^{n}）$=$lo{g}_{2}{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{n}}$=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$＜2．
∴$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{n}}$＜2．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．