Question

14．如图，在平行四边形ABCD中，已知|$\overrightarrow{AB}$|=4，|$\overrightarrow{BC}$|=2，$\overrightarrow{PD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CD}$，∠DAB=60°，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（　　）

• A． 11
• B． 5
• C． -1
• D． -3

Answer 1

分析 利用三角形法则将$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}$）（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}$），然后展开利用平行四边形的边对应的向量矩形运算．

解答 解：因为四边形为平行四边形，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}$）（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}$）=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{CP}$
=${\overrightarrow{BC}}^{2}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CD}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BC}$-$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×{\overrightarrow{DC}}^{2}$
=4+$\frac{3}{4}×2×4×cos120°$+$\frac{1}{4}×4×2×cos60°$$-\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×{4}^{2}$
=4-3+1-3
=-1，
故选：C．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及向量的数量积运算；关键是将所求利用三角形法则转化为平行四边形的边对应的向量的运算；注意向量的夹角．