Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是①②④⑤（写出所有正确命题的编号）
①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC；
②若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45°；
③tanA+tanB+tanC的最小值为3$\sqrt{3}$；
④当$\sqrt{3}$tanB-1=$\frac{tanB+tanC}{tanA}$时，则sin²C≥sinA•sinB；
⑤若[x]表示不超过x的最大整数，则满足tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]的A，B，C仅有一组．

Answer 1

分析 ①利用和角的正切公式，结合三角形的内角和即可判断；
②由①可得tanA=1，进而可判断；
③举出反例：A=$\frac{2π}{3}$，B=C=$\frac{π}{6}$计算即可；
④由①可得C=60°，进而利用和差角公式及正弦型函数的性质即可判断；
⑤由[x]的定义，结合①可确定tanA、tanB、tanC为整数，进而可判断．

解答 解：①由题意知：A≠$\frac{π}{2}$，B≠$\frac{π}{2}$，C≠$\frac{π}{2}$，且A+B+C=π，
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
=-tanC（1-tanAtanB）
=-tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故正确；
②由tanA：tanB：tanC=1：2：3，
设tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，
∴tanA=tan[π-（B+C）]
=-tan（B+C）
=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$
=-$\frac{2x+3x}{1-6{x}^{2}}$=x，
整理得：x²=1，解得：x=1或x=-1，
∴tanA=1或tanA=-1（不合题意，舍去），
又A为三角形的内角，则A=45°，故正确；
③当A=$\frac{2π}{3}$，B=C=$\frac{π}{6}$时，tanA+tanB+tanC=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$＜3$\sqrt{3}$，故错误；
④当$\sqrt{3}$tanB-1=$\frac{tanB+tanC}{tanA}$时，$\sqrt{3}$tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，
即tanC=$\sqrt{3}$，C=60°，此时sin²C=$\frac{3}{4}$，
sinA•sinB=sinA•sin（120°-A）
=sinA•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A
=$\frac{1}{2}$sin（2A-30°）$+\frac{1}{4}$
$≤\frac{3}{4}$，则sin²C≥sinA•sinB，故正确；
⑤∵对任意实数x，均有[x]≤x，
∴[tanA]+[tanB]+[tanC]≤tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]，
又由①可知tanA、tanB、tanC为整数，
不妨设tanA＜tanB＜tanC，则tanA、tanB、tanC分别为1、2、3，故正确；
故答案为：①②④⑤．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，属于中档题．