Question

13．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm，动点E、F分别从点D、B出发，点E以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C，两点同时停止移动，以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为1cm²，已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示
（1）自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）d=3m=2n=25；
（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm²．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对边相等求出BC的长，然后利用路程、速度、时间的关系求解即可；
（2）根据点的运动可知，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，正方形的面积最小，求出d、m的值，再根据开始于结束时正方形的面积最大，利用勾股定理求出BD的平方，即为最大值n；
（3）过点E作EI⊥BC垂足为点I，则四边形DEIC为矩形，然后表示出EI、IF，再利用勾股定理表示出EF²，根据正方形的面积得到y与x的函数关系式，然后把y=16代入求出x的值，即可得到时间

解答 解：（1）∵BC=AD=4，4÷1=4，
∴0≤x≤4；
（2）根据题意，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，
EF=AB最小，所以正方形EFGH的面积最小，
此时，d²=9，m=4÷2=2，
所以，d=3，
根据勾股定理，n=BD²=AD²+AB²=4²+3²=25，
（3）如图，过点E作EI⊥BC垂足为点I．则四边形DEIC为矩形，
∴EI=DC=3，CI=DE=x，
∵BF=x，
∴IF=4-2x，
在Rt△EFI中，EF²=EI²+IF²=3²+（4-2x）²，
∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积，
∴y=3²+（4-2x）²，
当y=16时，3²+（4-2x）²=16，
整理得，4x²-16x+9=0，
解得，x₁=$\frac{4+\sqrt{7}}{2}$，x₂=$\frac{4-\sqrt{7}}{2}$，
∵点F的速度是1cm/s，
∴F出发$\frac{4+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{4-\sqrt{7}}{2}$秒时，正方形EFGH的面积为16cm²
故答案为：（1）0≤x≤4；（2）3，2，25．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，（2）根据点的移动，结合二次函数图象找出当EF=AB时正方形的面积为最小值是解题的关键，（3）求出正方形EFGH的面积的表达式是解题的关键．