Question

8．已知函数f（x）满足ax•f（x）=b+f（x）（ab≠0），f（1）=2且f（x+2）=-f（2-x）对定义域中任意x都成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若正项数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n=$\frac{1}{4}$（3-$\frac{2}{f（{a}_{n}）}$）²，求证：数列{a_n}为等差数列．
（3）在（2）的条件下，若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）首先根据已知条件建立函数的对称性的联系，进一步求出函数的解析式．
（2）利用（1）的解析式，进一步利用关系式的恒等变换再利用定义证明数列是等差数列．
（3）利用等差数列先求出数列的通项公式，在利用乘公比错位相减法求出数列的和．

解答 解（1）ax•f（x）=b+f（x）（ab≠0），
∴f（x）=$\frac{b}{ax-1}$，
∵f（x）=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象的对称中心为（0，0），
∴f（x）=$\frac{b}{ax-1}$的对称中心为（$\frac{1}{a}$，0），
又f（x+2）=-f（2-x）即f（x+2）+f（2-x）=0，
∴函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，
即$\frac{1}{a}$=2，a=$\frac{1}{2}$，
又f（1）=2，即b=2（a-1）=2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=$\frac{2}{2-x}$；
（2）正项数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n=$\frac{1}{4}$（3-$\frac{2}{f（{a}_{n}）}$）²，
所以：${S}_{n}=\frac{1}{4}[3-\frac{2}{\frac{2}{2-{a}_{n}}}]^{2}$=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$①
当n＞1时，${S}_{n-1}=\frac{1}{4}[{a}_{n-1}+1]^{2}$②
所以：①-②得：${a}_{n}=\frac{1}{4}[（{a}_{n}-{a}_{n-1}）$（a_n+a_n+1+2）]，
即：4a_n=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+2（a_n+a_n+1）．
整理得：2（a_n+a_n-1）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
由于：a_n＞0，所以：a_n-a_n-1=2，
由于：${a}_{1}=\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，
解得：a₁=1，
所以数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列．
（3）由（2）得：数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列．
所以：a_n=1+2（n-1）=2n-1，
则：若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
所以：T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，③
所以：$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+$…+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，④
所以：③-④得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+$…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
整理得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$2（\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
所以：${T}_{n}=3-（3+2n）\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查的知识要点：函数解析式的求法，函数的对称性在求解析式中的应用，利用定义证明数列是等差数列，乘公比错位相减法的应用．