Question

16．已知F₁、F₂是双曲线M：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$=1的焦点，y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于$\frac{3}{4}$的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，设|PF₁|•|PF₂|=n，则下列正确的是（　　）

• A． n=12
• B． n=24
• C． n=36
• D． n≠12且n≠24且n≠36

Answer 1

分析 利用F₁、F₂是双曲线M：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$=1的焦点，y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于$\frac{3}{4}$的椭圆E与双曲线M的焦点相同，求出椭圆的长轴长，再利用椭圆、双曲线的定义，即可得出结论．

解答 解：由题意，$\frac{2}{m}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴m=$\sqrt{5}$，
∴双曲线M：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$，
∴F₁（0，-3），F₂（0，3），
∵离心率等于$\frac{3}{4}$的椭圆E与双曲线M的焦点相同，
∴c=3，a=4，b=$\sqrt{7}$，
∵P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，
∵|PF₁|+|PF₂|=8，||PF₁|-|PF₂||=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=12，
故选：A．

点评 本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生的计算能力，确定椭圆的长轴长是关键．