Question

6．在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点，若抛物线y²=2px（p＞0）过点C．
（1）求抛物线的方程．
（2）设抛物线的焦点为F，且直线AB与抛物线交于M、N两点，求△MNF的面积．

Answer 1

分析 （1）由x+y=2，分别令y=0，x=0，可得A，B，由中点坐标公式可得：C，代入抛物线方程可得p即可得出抛物线方程．
（2）由（1）可得：焦点F（$\frac{1}{4}$，0），利用点到直线的距离公式可得：点F到直线AB的距离d，联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，解得M，N坐标，可得|MN|，利用△MNF的面积S=$\frac{1}{2}|AB|•d$即可得出．

解答 解：（1）由x+y=2，分别令y=0，x=0，可得A（2，0），B（0，2），
由中点坐标公式可得：C（1，1），代入抛物线方程可得：1²=2p×1，解得2p=1．
∴抛物线方程为y²=x．
（2）由（1）可得：焦点F（$\frac{1}{4}$，0），
∴点F到直线AB的距离d=$\frac{{|{\frac{1}{4}+0-2}|}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴M（1，1），N（4，-2）．
∴|MN|=$\sqrt{（1-4）^{2}+（1+2）^{2}}$=$3\sqrt{2}$，
∴△MNF的面积S=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$•$3\sqrt{2}$=$\frac{21}{8}$．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得交点坐标、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．