Question

1．已知抛物线W：y²=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．
（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；
（Ⅱ）若|AB|=3$\sqrt{5}$，求△AFB的周长．

Answer 1

分析 （I）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；
（II）运用抛物线的定义和（I）的结论，可得|AF|+|BF|，进而得到△AFB的周长．

解答 解：（I）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=2x+t\end{array}\right.$，消元化简得4x²+（4t-4）x+t²=0，
则$\left\{\begin{array}{l}△=16{t^2}-32t+16-16{t^2}=16-32t＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{4-4t}{4}=1-t\\{x_1}{x_2}=\frac{t^2}{4}\end{array}\right.$，
所以$|AB|=\sqrt{1+{2^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{\sqrt{5}}}{4}\sqrt{16（1-2t）}=\sqrt{5}\sqrt{（1-2t）}$，其中$t＜\frac{1}{2}$；
（II）由$|AB|\;=3\sqrt{5}$，
则$\sqrt{5（1-2t）}$=3$\sqrt{5}$，解得t=-4，
经检验，此时△=16-32t＞0，
所以x₁+x₂=1-t=5，
由抛物线的定义，
有$|AF|+|BF|=（{x_1}+\frac{p}{2}）+（{x_2}+\frac{p}{2}）={x_1}+{x_2}+p=5+2=7$，
又$|AB|=3\sqrt{5}$，
所以△AFB的周长为$7+3\sqrt{5}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，具有一定的运算量，属于中档题．