Question

2．设△ABC的内角A，B，C所对应的边长为a，b，c，且（2b-$\sqrt{2}$c）cosA=$\sqrt{2}$acosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，cosB=$\frac{4}{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可得b²+c²-a²=$\sqrt{2}bc$，从而可求得cosA，结合A的范围即可求得A的值．
（2）由已知先求sinB，由正弦定理可求b，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式可求sinC，由三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵（2b-$\sqrt{2}$c）cosA=$\sqrt{2}$acosC．
∴由余弦定理可得：（2b-$\sqrt{2}$c）×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\sqrt{2}$a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．
∴整理可得：b²+c²-a²=$\sqrt{2}bc$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由0＜A＜π，可解得：A=$\frac{π}{4}$．
（2）∵cosB=$\frac{4}{5}$，0＜B＜π，可解得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{1×\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×1×\frac{3\sqrt{2}}{5}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{21}{50}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查．