Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n-1+2^n-1（n＞2，且n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）根据递推关系式符合a_n=pa_n-1+q（p、q为常数）的形式，利用构造新数列的方法求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步利用等比数列的前n项和求出结果．

解答 解：（1）数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n-1+2^n-1（n＞2，且n∈N^*）
则：设（a_n-k）=2（a_n-1-k），
整理得：a_n=2a_n-1-k，
所以：-k=2^n-1
即：k=-2^n-1
所以：数列{${a}_{n}+{2}^{n-1}$}是以${a}_{1}+{2}^{1-1}$为首项，2为公比的等比数列．
由于a₁=2，
则：${a}_{n}+{2}^{n-1}=3•{2}^{n-1}$．
由于a₁=2，
所以：${a}_{n}=2•{2}^{n-1}$=2ⁿ．
所以数列{a_n}的通项公式为：${a}_{n}={2}^{n}$．
（2）由于有（1）得：${a}_{n}={2}^{n}$，
T_n=a₁+a₂+…+a_n
=2¹+2²+…+2ⁿ
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}={2}^{n+1}-2$

点评 本题考查的知识要点：利用构造新数列法求数列的通项公式，等比数列前n项和公式的求法．