Question

12．已知抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$，过点P（0，2）作直线l，交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-4．

Answer 1

分析 设直线l：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，再利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：设直线l：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，化为x²-4kx-8=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8．
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=-8（1+k²）+8k²+4
=-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．