Question

1．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x-$\sqrt{3}$y-4=0相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）若已知点P（3，2），过点P作圆O的切线，求切线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径r的值，可得所求的圆的方程．
（Ⅱ）由题意可得点P在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率k的值，可得所求切线方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆的方程为x²+y²=r²，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故r=$\frac{4}{\sqrt{4}}$=2，
∴圆的方程是x²+y²=4．
（Ⅱ）∵|OP|=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$＞2，∴点P在圆外．
显然，斜率不存在时，直线与圆相离． 
故可设所求切线方程为y-2=k（x-3），即kx-y+2-3k=0．
又圆心为O（0，0），半径r=2，
而圆心到切线的距离d=$\frac{|2-3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，即|3k-2|=2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴k=$\frac{12}{5}$或k=0，故所求切线方程为12x-5y-26=0或y-2=0．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．