Question

11．已知O是△ABC的重心，且满足$\frac{sinA}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{sinB}{7}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{sinC}{8}$•$\overrightarrow{OC}$=0，则∠B=（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 根据O是△ABC的重心，得出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，利用$\frac{sinA}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{sinB}{7}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{sinC}{8}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，求出$\frac{sinA}{3}$=$\frac{sinB}{7}$=$\frac{sinC}{8}$，利用正弦定理得出a：b：c的值，再求出cosB即得B的大小．

解答 解：∵O是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
即$\overrightarrow{OA}$=-$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$，
∴$\frac{sinA}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{sinB}{7}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{sinC}{8}$$\overrightarrow{OC}$=$\frac{sinA}{3}$（-$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）+$\frac{sinB}{7}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{sinC}{8}$$\overrightarrow{OC}$
=（$\frac{sinB}{7}$-$\frac{sinA}{3}$）$\overrightarrow{OB}$+（$\frac{sinC}{8}$-$\frac{sinA}{3}$）$\overrightarrow{OC}$
=$\overrightarrow{0}$；
又∵$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$不共线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinB}{7}-\frac{sinA}{3}=0}\\{\frac{sinC}{8}-\frac{sinA}{3}=0}\end{array}\right.$，
即$\frac{sinA}{3}$=$\frac{sinB}{7}$=$\frac{sinC}{8}$，
∴a：b：c=3：7：8；
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{3}^{2}{+8}^{2}{-7}^{2}}{2×3×8}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，是综合性题目．