Question

1．已知在等腰Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，∠C=90°．
（1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2；
（2）若点M是△ABC外接圆上的动点，O为圆心，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中的性质得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|×cos45°，计算即可．
（2）设∠MOB=α，∠COB=90°+α，0≤α≤360°利用向量的运算得出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OM}$•（$\overrightarrow{OC}$$-\overrightarrow{OB}$）=1×1×cos（90°+α）-1×1×cosα=-sinα-cosα=$-\sqrt{2}$sin（α+45°），再根据三角函数性质即可求解范围．

解答 解：（1）∵等腰Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，∠C=90°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|×cos45°=$\sqrt{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=|=2，
故答案为：2
（2）∵等腰Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，∠C=90°，点M是△ABC外接圆上的动点，O为圆心，
∴OB=OC=OM=1，∠COB=90°

设∠MOB=α，∠COB=90°+α，0≤α≤360°，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OM}$•（$\overrightarrow{OC}$$-\overrightarrow{OB}$）=1×1×cos（90°+α）-1×1×cosα=-sinα-cosα=$-\sqrt{2}$sin（α+45°），
∵45°≤α+45°≤405°，
∴最大值为$\sqrt{2}$，最小值为$-\sqrt{2}$．
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

点评 本题综合考查了平面向量的运算，与三角函数性质求解，综合性较强，计算准确些，难度不大，结合图形得出向量的关系，再运算即可．