Question

11．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）两点，则y₁²+y₂²的最小值为8．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，设直线方程为x=my+1，代入抛物线方程，消去x，运用韦达定理，再由配方和二次函数的最值，即可得到最小值．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），
设直线方程为x=my+1，与抛物线方程联立消去x得，
y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
则y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=16m²+8≥8，
当m=0时取等号，
则y₁²+y₂²的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，注意联立方程运用韦达定理，属于中档题．