Question

16．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，-2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，-2）代入抛物线C：y²=2px（p＞0），解得p即可得出．
（2）F（1，0）．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线l的方程为：y=x-1．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得：|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线MN的距离d．利用△OMN的面积S=$\frac{1}{2}|MN|•d$即可得出．

解答 解：（1）把点A（1，-2）代入抛物线C：y²=2px（p＞0），可得（-2）²=2p×1，解得p=2．
∴抛物线C的方程为：y²=4x．
（2）F（1，0）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直线l的方程为：y=x-1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化为x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2（{6}^{2}-4）}$=8．
原点O到直线MN的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴△OMN的面积S=$\frac{1}{2}|MN|•d$=$\frac{1}{2}×8×\frac{1}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．