Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=-4x的交点相同，且椭圆C上一点与椭圆C的左右焦点F₁，F₂构成三角形的周长为2$\sqrt{2}$+2，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 由抛物线y²=-4x和条件求出左焦点F₁的坐标，再由椭圆的定义和条件求出a的值，根据a、b、c的关系求出b²，代入椭圆方程即可．

解答 解：因为抛物线y²=-4x的焦点是（-1，0），
所以椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦点F₁（-1，0），则c=1，
因为椭圆C上一点与F₁，F₂构成三角形的周长为2$\sqrt{2}$+2，
所以由椭圆的定义可得，2a+2c=2$\sqrt{2}$+2，解得a=$\sqrt{2}$，
则b²=a²-c²=1，
所以椭圆C的方程是：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，以及椭圆的定义、标准方程，属于中档题．