Question

11．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁，D是棱AA₁上的动点．
（1）证明：DC₁⊥BC；
（2）若平面BDC₁分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点D的位置，并求二面角A₁-BD-C₁的大小．

Answer 1

分析 （1）根据直三棱柱的性质，得CC₁⊥BC，结合BC⊥AC且AC、CC₁是平面ACC₁A₁内的相交直线，可得BC⊥平面ACC₁A₁，进而得到DC₁⊥BC；
（2）利用平面BDC₁分该棱柱为体积相等的两个部分，可得D为AA₁中点，取A₁B₁的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C₁O，C₁H，确定∠C₁DO是二面角A₁-BD-C₁的平面角，再求二面角A₁-BD-C₁的大小．

解答 （1）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC…（2分）
又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC…（3分）
∵AC∩CC₁=C，AC、CC₁?平面ACC₁A₁
∴BC⊥平面ACC₁A₁
∵D₁C?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC；…（5分）
（2）解：∵${V}_{D-BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，${V}_{D-BC{C}_{1}}$+V_D-ABC=$\frac{1}{2}$${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{6}$${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•AD$=$\frac{1}{6}{S}_{△ABC}•A{A}_{1}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AA₁
∴D为AA₁中点；
取A₁B₁的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C₁O，C₁H

∵A₁C₁=B₁C₁，∴C₁O⊥A₁B₁，
∵面A₁B₁C₁⊥面A₁BD，
∴C₁O⊥面A₁BD，
∵OH⊥BD，
∴C₁H⊥BD
∴点H与点D重合，且∠C₁DO是二面角A₁-BD-C₁的平面角．         
设AC=a，则C₁O=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∵${C}_{1}D=\sqrt{2}a$=2C₁O，
∴∠C₁DO=30°，得二面角的大小为30°．

点评 本题在特殊的三棱柱中证明两条直线互相垂直，并求二面角的值，着重考查了空间垂直位置关系的证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．