Question

19．已知：$\frac{1}{a_{n+1}}$=$\sqrt{3+\frac{1}{a_{n}^{2}}}$，（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求证：{$\frac{1}{a_{n}^{2}}$}为等差数列．
（2）求出通项公式．

Answer 1

分析 （1）把已知的数列递推式两边平方，即可证得{$\frac{1}{a_{n}^{2}}$}为等差数列；
（2）由（1）中的等差数列求出通项公式，进一步可得数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：由$\frac{1}{a_{n+1}}$=$\sqrt{3+\frac{1}{a_{n}^{2}}}$，得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=3+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，
即$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=3$，
又a₁=1，∴$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}=1$，
则数列{$\frac{1}{a_{n}^{2}}$}为以1为首项，以3为公差的等差数列；
（2）解：∵数列{$\frac{1}{a_{n}^{2}}$}为以1为首项，以3为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=1+3（n-1）=3n-2$，
则${{a}_{n}}^{2}=\frac{1}{3n-2}$，又a_n＞0，
∴${a}_{n}=\sqrt{\frac{1}{3n-2}}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．