Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-ae}$在（2e+1，f（2e+1））处的切线平行于x轴，其中e是自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）求证：f（2e+1）•f（2e+2）…f（2e+n）＞e^2ne•（n+1），其中n是正整数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，由导函数等于0求出a的值，把a值代入原函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把函数定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，进一步得到极值点，求出函数极值；
（2）把要证的不等式两边取对数，把问题转化为证明ln[f（2e+1）•f（2e+2）…f（2e+n）]＞ln[e^2ne•（n+1）]=2en+ln（n+1），利用对数的运算性质化简后转化为证n-lnn＞ln$\frac{n+1}{n}$，即证n＞ln（n+1），构造函数g（n）=n-ln（n+1），由导数证明n＞ln（n+1）成立，则不等式得证．

解答 （1）解：由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-ae}$，得${f}^{′}（x）=\frac{{e}^{x}（x-ae-1）}{（x-ae）^{2}}$，
由f′（2e+1）=0，得e^2e+1（2e+1-ae-1）=0，即a=2，
∴$f（x）=\frac{{e}^{x}}{x-2e}$，
则${f}^{′}（x）=\frac{{e}^{x}（x-2e-1）}{（x-2e）^{2}}$（x≠2e），
当x∈（-∞，2e），x∈（2e，2e+1）时，f′（x）＜0，
当x∈（2e+1，+∞），f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，2e），（2e，2e+1）；
单调增区间为（2e+1，+∞）；
函数有极小值为f（2e+1）=e^2e+1；
（2）证明：要证f（2e+1）•f（2e+2）…f（2e+n）＞e^2ne•（n+1），
即证：ln[f（2e+1）•f（2e+2）…f（2e+n）]＞ln[e^2ne•（n+1）]=2en+ln（n+1），
左边=2e+1-ln1+2e+2-ln2+…+2e+n-lnn=2en+1-ln1+2-ln2+…+n-lnn，
故只需证1-ln1+2-ln2+…+n-lnn＞ln（n+1）=ln1+ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$．
只需证n-lnn＞ln$\frac{n+1}{n}$．
只需证n＞ln（n+1）
设g（n）=n-ln（n+1），
则${g}^{′}（n）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}＞0$，
∴g（n）_min=g（1）=1-ln2＞0．
∴n＞ln（n+1）成立．
则不等式得证．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，考查了数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性证明函数不等式，属难题．