Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且$\frac{AE}{AB}$=k，0＜k＜1，点F为PD中点．
（1）若k=$\frac{1}{2}$，求证：AF∥平面PEC；
（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥C-PEB的体积等于四棱锥P-ABCD的体积的$\frac{1}{3}$，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）作FM∥CD交PC于M，证明四边形AEMF为平行四边形，得到AF∥EM，利用直线与平面平行的判定定理证明直线AF∥平面PEC．
（2）通过求解V_C-PEB=V_P-CEB，V_P-ABCD，列出方程即可求解常数k．

解答 （1）证明：作FM∥CD交PC于M．∴FM∥AE…（1分）
∵点F为PD中点，∴FM=$\frac{1}{2}$CD．∵k=$\frac{1}{2}$，∴AE=$\frac{1}{2}$AB=FM，
∴AEMF为平行四边形，…（2分）
∴AF∥EM，…（3分）
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC．…（5分）
（2）解：V_C-PEB=V_P-CEB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1-k）×1×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{12}（1-k）$ …（7分）
${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$…（9分）
$\frac{\sqrt{2}}{12}（1-k）=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{6}$…（10分）
所以存在常数k=$\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．