Question

7．若a∈[0，1），当x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-ay-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+y-4≥0}\end{array}\right.$时，z=x+y的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 无法确定

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值．

解答 解：由x-ay-2=0得ay=x-2，
若a=0，则x-2=0，
若0＜a＜1，则直线方程等价为y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$，此时直线斜率k=$\frac{1}{a}$＞1，
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，
由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，
直线y=-x+z的截距最小，此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-ay-2=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即A（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2．
即目标函数z=x+y的最小值为2．
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．