Question

2．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=λS_n+1（n∈N^*，λ≠-1），且a₁、2a₂、a₃+3为等差数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_nb_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=λS_n+1（n∈N^*，λ≠-1），当n≥2时，a_n=λS_n-1+1，可得a_n+1=（1+λ）a_n，利用等比数列的通项公式可得a₃，再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=λS_n+1（n∈N^*，λ≠-1），∴当n≥2时，a_n=λS_n-1+1，
∴a_n+1-a_n=λa_n，即a_n+1=（1+λ）a_n，
又a₁=1，a₂=λa₁+1=λ+1，
∴数列{a_n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，
∴a₃=（λ+1）²，
∵a₁、2a₂、a₃+3为等差数列{b_n}的前三项．
∴4（λ+1）=1+（λ+1）²+3，
整理得（λ-1）²=0，解得λ=1．
∴a_n=2^n-1，b_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）a_nb_n=（3n-2）•2^n-1，
∴数列{a_nb_n}的前n项和T_n=1+4×2+7×2²+…+（3n-2）•2^n-1，
2T_n=2+4×2²+7×2³+…+（3n-5）×2^n-1+（3n-2）×2ⁿ，
∴-T_n=1+3×2+3×2²+…+3×2^n-1-（3n-2）×2ⁿ=$1+3×\frac{2×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（3n-2）×2ⁿ=（5-3n）×2ⁿ-5，
∴T_n=（3n-5）×2ⁿ+5．

点评 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．