Question

14．设曲线y=x²及直线y=1所围成的封闭图形区域D，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，用定积分表示出曲线y=x²与直线y=1围成的封闭图形的面积，再求出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$所确定的区域的面积为2，即可求得结论

解答 解：联立曲线y=x²及直线y=1，解得x=±1，
∴曲线y=x²与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=${∫}_{-1}^{1}（1-{x}^{2}）dx$=（$x-\frac{1}{3}{x}^{3}$）${|}_{-1}^{1}$=$\frac{4}{3}$．
不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$所确定的区域的面积为2，
∴在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为$\frac{\frac{4}{3}}{2}$=$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查概率的求解，考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，解题的关键是确定被积区间及被积函数．