Question

4．已知，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（丨x-a²|+|x-2a²|-3a²），若任意x∈R，f（x-1）≤f（x），则a的取值是[$-\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．

Answer 1

分析 把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），可得2a²-（-4a²）≤1，求解该不等式得答案．

解答 解：当x≥0时
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-3{a}^{2}，}&{x＞2{a}^{2}}\\{-{a}^{2}，}&{{a}^{2}＜x≤2{a}^{2}}\\{-x，}&{0≤x≤{a}^{2}}\end{array}\right.$，
作图可知，当x＞0时，f（x） 的最小值f（x）_min=-a²，
∵函数f（x） 为奇函数；
∴当x＜0 时f（x） 的最大值f（x）_max=a²，
∵对任意实数x都有f（x-1）≤f（x），
∴3a²-（-3a²）≤1，
即6a²≤1，
解得$-\frac{\sqrt{6}}{6}$≤x≤$\frac{\sqrt{6}}{6}$，故实数的取值范围是[$-\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]，
故答案为：[$-\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]

点评 本题考查了恒成立问题，考查分段函数的应用以及函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法是解决本题的关键．