Question

9．抛物线C：x²=2py（p＞0）的准线的方程为y=-1．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P处的直线交C于另一点Q，满足以线段PQ为直径的圆经过抛物线的焦点，且PQ与抛物线C在点P处的切线垂直，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的准线方程，即有$-\frac{P}{2}=-1$，可得p=1，即有抛物线方程；
（2）假设在抛物线C上存在点P，满足条件．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用导数求得切线的斜率，可得
PQ：y=-$\frac{2}{{x}_{1}}$x+2+y₁，联立抛物线方程，运用韦达定理，求得向量FP，FQ的坐标，再由向量垂直的条件，化简整理即可得到P的坐标．

解答 解：（1）抛物线C：x²=2py（p＞0）的准线方程为y=-$\frac{p}{2}$，
由题意可得，$-\frac{P}{2}=-1$，解得p=2，
则抛物线C的标准方程为x²=4y；
（2）假设在抛物线C上存在点P，满足条件．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
y′=$\frac{1}{2}$x，在P处的切线的斜率为k=$\frac{{x}_{1}}{2}$，
即有PQ：y=-$\frac{2}{{x}_{1}}$x+2+y₁，
代入抛物线方程x²=4y可得，
x²+$\frac{8}{{x}_{1}}$x-8-4y₁=0，
x₁+x₂=-$\frac{8}{{x}_{1}}$，x₁x₂=-8-4y₁，
x₂=-$\frac{8}{{x}_{1}}$-x₁，y₂=$\frac{4}{{y}_{1}}$+y₁+4，
$\overrightarrow{FP}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{FQ}$=（x₂，y₂-1），
$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$=0，即有x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
-8-4y₁+y₁（$\frac{4}{{y}_{1}}$+y₁+4）-（$\frac{4}{{y}_{1}}$+2y₁+4）+1=0，
y₁³-2y₁²-7y₁-4=0，
（y₁+1）²（y₁-4）=0，
解得y₁=4，
故存在这样的点P，且为（±4，4），满足条件．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．