Question

4．设函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$
（1）当a＞0时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若x≥0时有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数可得f′（x）=$\frac{x+1-a}{（1+x）^{2}}$，当0＜a≤1时单调递增；当a＞1时，在（0，a-1）是单调递减，在（a-1，+∞）单调递增；
（2）由（1）可得f（x）在[0，+∞）单调递增，由f（0）=0可得恒成立；当a＞1时，存在x＞0，使f（x）＜0即不恒成立，综合可得a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{a（x+1）-ax}{（x+1）^{2}}$
=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{x+1-a}{（1+x）^{2}}$，x＞0
当0＜a≤1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞1时，可得x∈（0，a-1）时f′（x）＜0，x∈（a-1，+∞）时f′（x）＞0
∴f（x）在（0，a-1）是单调递减，在（a-1，+∞）单调递增．
（2）由（1）知当a≤1时，f′（x）≥0，
当且仅当x=0且a=1时取等号，
∴f（x）在[0，+∞）单调递增，
∵f（0）=0，∴a≤1时，f（x）≥0恒成立（仅当x=0时取等号）；
当a＞1时，对x∈（0，a-1]有f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（0，a-1]单调递减，f（a-1）＜f（0），
即a＞1时，存在x＞0，使f（x）＜0，故f（x）≥0不恒成立，
综上可知，a的取值范围（-∞，1]

点评 本题考查导数的综合应用，涉及函数的单调性和恒成立问题以及分类讨论的思想，属难题．