Question

19．若等边△ABC的边长为6，平面内一点M满足$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，则四边形ABCM的面积为$\frac{27\sqrt{3}}{2}$，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=34．

Answer 1

分析 利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出．

解答 解：如图所示，A（3，0），B（0，$3\sqrt{3}$），C（-3，0）．
∴$\overrightarrow{BC}$=（-3，-$3\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CA}$=（6，0）．
∴$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{3}$（6，0）+$\frac{1}{2}$（-3，-$3\sqrt{3}$）
=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CM}$
=（-3，0）+（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）
=（$-\frac{5}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}$
=（3，0）-（$-\frac{5}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）
=（$\frac{11}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
同理$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{5}{2}$，$\frac{9\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（$\frac{11}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）•（$\frac{5}{2}$，$\frac{9\sqrt{3}}{2}$）
=$\frac{11}{2}×\frac{5}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{9\sqrt{3}}{2}$
=34，
所以S_{四边形ABCM}=S_△ABC+S_△ACM
=$\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×6×\frac{3\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{27\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{27\sqrt{3}}{2}$，34．

点评 本题考查了向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算、等边三角形的性质，属于中档题．