Question

8．如图，设点D到定直线AB的距离DE=a（a＞0），过点D与直线AB相切的动圆圆心为C．
（1）试判定动点C的轨迹，
（2）已知过点D的直线l交动点C的轨迹于两点P，Q，且$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}$的最大值等于-4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）点D到定直线AB的距离DE=a（a＞0），过点D与直线AB相切的动圆圆心为C，可得C到D的距离等于C到直线AB的距离，利用抛物线的定义，即可判定动点C的轨迹，
（2）建立坐标系，则抛物线方程为x²=2ay（a＞0），设l：y=kx+$\frac{a}{2}$，代入x²=2ay可得x²-2akx-a²=0，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}$的最大值等于-4，即可求a的值．

解答 解：（1）∵点D到定直线AB的距离DE=a（a＞0），过点D与直线AB相切的动圆圆心为C，
∴C到D的距离等于C到直线AB的距离，
∴动点C的轨迹是以D为焦点，AB为准线的抛物线；
（2）建立如图所示的坐标系，则抛物线方程为x²=2ay（a＞0）
设l：y=kx+$\frac{a}{2}$，代入x²=2ay可得x²-2akx-a²=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=2ak，x₁x₂=-a²
$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}$=（x₁，y₁-$\frac{a}{2}$）•（x₂，y₂-$\frac{a}{2}$）=x₁x₂+（y₁-$\frac{a}{2}$）•（y₂-$\frac{a}{2}$）=-a²（k²+1），
∴k=0时，$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}$取得最大值-a²，
∵$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}$的最大值等于-4，a＞0
∴a=2．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．