Question

13．证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²（n∈N^*）

Answer 1

分析 本题考查的知识点是数学归纳法，要证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²（n∈N^*）成立，我们要先证明n=1时，等式成立，再假设n=k时，等式成立，进而求证n=k+1时，等式成立．

解答 证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，
即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²，
则当n=k+1时，
左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）=（2k-1）²+（3k-1）+3k+（3k+1）-k
=（2k+1）²，
即n=k+1时，等式也成立．
所以n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²（n∈N^*）．

点评 本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．