Question

1．如图，等腰梯形ABCD的底边分别为6和4，高为3．
（1）求等腰梯形外接圆的方程；
（2）求外接圆的坐标和半径长．

Answer 1

分析 【解法一】（1）建立直角坐标系，求出圆的圆心与半径，写出外接圆的标准方程；
（2）由（1）写出外接圆的圆心坐标与半径长．
【解法二】（1）建立直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设出圆的一般方程，利用待定系数法求出圆的方程；
（2）根据圆的方程，求出圆的圆心与半径长．

解答 解：【解法一】（1）以下底AB为x轴，中点为原点O建立如图坐标系，

则点C的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），
作BC中垂线交y轴于点M，则M为外接圆的圆心；
设M坐标为（0，y），
∵MB=MC，
∴（0-3）²+（y-0）²=（0-2）²+（y-3）²，
解得y=$\frac{2}{3}$，
∴M点坐标为（0，$\frac{2}{3}$），
∴等腰梯形外接圆的半径为
r=|MC|=$\sqrt{{（0-2）}^{2}{+（\frac{2}{3}-3）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{85}}{3}$，
∴外接圆的方程为x²+${（y-\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{85}{9}$；
（2）由（1）知，外接圆的圆心坐标为（0，$\frac{2}{3}$），
半径长为r=$\frac{\sqrt{85}}{3}$．
【解法二】（1）以下底AB为x轴，中点为原点O建立如图坐标系，

则点C的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），A（-3，0），
设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，且过点A、B、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9-3D+F=0}\\{9+3D+F=0}\\{4+9+2D+3E+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=0，E=-$\frac{4}{3}$，F=-9；
∴圆的方程为x²+y²-$\frac{4}{3}$y-9=0；
（2）根据圆的方程，得；
圆的圆心是M（0，$\frac{2}{3}$），
半径为r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{0}^{2}{+（-\frac{4}{3}）}^{2}-4×（-9）}$=$\frac{\sqrt{85}}{3}$．

点评 本题考查了求圆的方程的应用问题，解题时应根据题意，建立适当的平面直角坐标系，是基础题目．