Question

11．已知a∈R，函数f（x）=x²lnx-a（x²-1）．
（Ⅰ）当a=-1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x₀∈[1，+∞），使不等式f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．．

Answer 1

分析 （I）求出f′（x），求出斜率，然后求解曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（II）求出函数的导数，利用当$\frac{1}{2}-a≥0$，当$\frac{1}{2}-a＜0$，判断函数的单调性，然后求出，实数a的取值范围．

解答 解：（I）f′（x）=2xlnx+x-2ax，…（2分）
当a=-1时，f′（1）=3，
∵f（1）=0，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x-3；…（6分）
（II）$f'（x）=2xlnx+x-2ax=2x（lnx+\frac{1}{2}-a）$
当x∈[1，+∞）时，lnx≥0，所以
当$\frac{1}{2}-a≥0$，即$a≤\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0，f（x）在x∈[1，+∞）是增函数，
f（x）≥f（1）=0恒成立，不存在x₀∈[1，+∞），使得不等式f（x₀）＜0成立；…（8分）
当$\frac{1}{2}-a＜0$，即$a＞\frac{1}{2}$时，
当$x∈[1，{e^{a-\frac{1}{2}}}）$时，f′（x）＜0，f（x）在$x∈[1，{e^{a-\frac{1}{2}}}）$是减函数，
f（x）≤f（1）=0，…（10分）
此时存在${x_0}∈[1，{e^{a-\frac{1}{2}}}）$，使得不等式f（x₀）＜0成立；
综上，实数a的取值范围是$（\frac{1}{2}，+∞）$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．