Question

6．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）．曲线C₁与直线C₂相交于A，B两点．
（Ⅰ）求|AB|的值；
（Ⅱ）求曲线C₁上的点到直线C₂的距离的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ，可得ρ²=2ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程，可得圆心C₁，半径r．把x=t代入$y=\sqrt{3}$t，可得直线C₂的普通方程，利用点到直线的距离公式可得：圆心C₁到直线的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．再利用弦长公式可得：|AB|=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．
（II）由（I）利用：曲线C₁上的点到直线C₂的距离的最大值=d+r即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ，
∴ρ²=2ρcosθ，化为x²+y²=2x，
配方（x-1）²+y²=1，
可得圆心C₁（1，0），半径r=1．
直线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
化为普通方程，y=$\sqrt{3}$x，
∴圆心C₁到直线的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|AB|=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$2\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1．
（II）∵圆心C₁到直线的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴曲线C₁上的点到直线C₂的距离的最大值=d+r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．