Question

16．在区间[0，1]内随机取两个实数分别为a，b，则使函数y=$\frac{1}{3}$x³+ax²-（b²-1）x+2存在极值点的概率为1-$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利用几何概型的概率公式即可的得到结论．

解答 解：在区间[0，1]内随机取两个实数分别为a，b，可得a，b∈[0，1]．
函数y=$\frac{1}{3}$x³+ax²-（b²-1）x+2有极值，
则f′（x）=x²+2ax-（b²-1）=0有两个不同的根，
即判别式△=4a²+4（b²-1）＞0，即a²+b²＞1．
如图：
∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=1-$\frac{π}{4}$．
故答案为：1-$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键．