Question

5．已知，a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题：
①若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形
②若acoA=bcosB，则△ABC是等腰三角形
③若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形
④若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$，则△ABC是等边三角形
其中正确命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 利用两角和的正切函数判断①的正误；根据正弦定理及二倍角公式，判断三角形形状，可判断②③④的正误；

解答 解：对于①，∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，故①正确；
对于②，若acoA=bcosB，则sinAcosA=sinBcosB，
则2sinAcosA=2sinBcosB，则sin2A=sin2B，
则A=B，或A+B=90°，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故②错误
对于③，若bcosC+ccosB=b，sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sinB，
即A=B，则△ABC是等腰三角形，故③正确；
④对于④，若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$，则$\frac{SinA}{cosA}=\frac{sinB}{cosB}=\frac{sinC}{cosC}$，即tanA=tanB=tanC，即A=B=C，即△ABC是等边三角形，故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查两角和的正切公式以及三角函数的符号，三角函数的图象与性质的应用，正弦定理等知识点，考查学生训练运用公式熟练变形的能力．