Question

14．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影D在线段AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC₁=2．
（Ⅰ）证明：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）设直线AA₁与平面ABC所成角为60°，求二面角A₁-AB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：BC⊥平面ACC₁A₁，可得BC⊥AC₁，ACC₁A₁为菱形，所以A₁C⊥AC₁，从而可得AC₁⊥平面CBA₁，即可证明AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）（解法一）设直线AA₁与平面ABC所成角为60°，作DK⊥AB于K，连结A₁K，则A₁K⊥AB，所以∠A₁KD即为二面角A₁-AB-C的平面角，再求二面角A₁-AB-C的平面角的余弦值；
（解法二）在平面ABC内，过点D作AC的垂线Dy，则Dy，DA，DA₁两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面A₁AB的一个法向量为$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}，2\sqrt{3}，1}）$，平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow n=（{0，0，1}）$，利用向量的夹角公式求二面角A₁-AB-C的平面角的余弦值．

解答 （ I）证明：因为A₁D⊥平面ABC，A₁D?平面A₁AC，
所以二面角A₁-AC-B为直二面角，BC⊥AC，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，----------（2分）
所以BC⊥AC₁，
平行四边形ACC₁A₁中，AC=CC₁=2，
所以ACC₁A₁为菱形，所以A₁C⊥AC₁，------（4分）
所以AC₁⊥平面CBA₁，----------（6分）
而A₁B?平面CBA₁，
所以AC₁⊥A₁B．------------（7分）
（ II）（解法一）由于A₁D⊥平面ABC，
所以∠A₁AD即为直线AA₁与平面ABC所成的角，故∠A₁AD=60°，------------------（9分）
作DK⊥AB于K，连结A₁K，则A₁K⊥AB，所以∠A₁KD即为二面角A₁-AB-C的平面角，--------------（11分）
Rt△A₁AD中，${A_1}D={A_1}Asin{60^0}=\sqrt{3}$--------（12分）
Rt△AKD中，$DK=ADsin∠CAB=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$------（13分）
Rt△A₁KD中，$tan∠{A_1}KD=\frac{{{A_1}D}}{DK}=\sqrt{5}{A_1}D$=$\sqrt{15}$，---------（14分）
所以$cos∠{A_1}KD=\frac{1}{4}$
即二面角A₁-AB-C的平面角的余弦值为$\frac{1}{4}$-------------（15分）
（解法二）由于A₁D⊥平面ABC，
所以∠A₁AD即为直线AA₁与平面ABC所成的角，故∠A₁AD=60°，AD=DC=1，$D{A_1}=\sqrt{3}$--------------（9分）
在平面ABC内，过点D作AC的垂线Dy，则Dy，DA，DA₁两两垂直，建立空间直角坐标系如图，
则A（1，0，0），B（-1，1，0），${A_1}（{0，0，\sqrt{3}}）$--------（11分）
所以$\overrightarrow{AB}=（{-2，1，0}）$，$\overrightarrow{A{A_1}}=（{-1，0，\sqrt{3}}）$，平面A₁AB的一个法向量为$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}，2\sqrt{3}，1}）$
平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow n=（{0，0，1}）$-------（13分）
所以$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{4}$---------------------（14分）
即二面角A₁-AB-C的平面角的余弦值为$\frac{1}{4}$-------------（15分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角A₁-AB-C的平面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．